Update This Post

FYUGP GU BA 1st Sem MDC “Foundations of Mathematical Sciences – I” Chapter 4 তথ্য বিশ্লেষণ: গাণিতিক গড়, জ্যামিতিক গড়, হৰাত্মক গড়, মধ্যমা, বহুলক আৰু সিহঁতৰ ধৰ্মসমূহ (Data Analysis: Arithmetic mean, Geometric mean, Harmonic mean, Median, Mode and their properties) Solution | BA 1st Sem MDC Foundations of Mathematical Sciences – I Chapter 4 তথ্য বিশ্লেষণ: গাণিতিক গড়, জ্যামিতিক গড়, হৰাত্মক গড়, মধ্যমা, বহুলক আৰু সিহঁতৰ ধৰ্মসমূহ (Data Analysis: Arithmetic mean, Geometric mean, Harmonic mean, Median, Mode and their properties) Question Answer

Note: আপুনি ইয়াত Post টোৰ এটা copy edit কৰি আছে। Submit নকৰালৈ Live WordPress Post-ত কোনো change নহ'ব।

Post Title

FYUGP GU BA 1st Sem MDC "Foundations of Mathematical Sciences - I" Chapter 4 তথ্য বিশ্লেষণ: গাণিতিক গড়, জ্যামিতিক গড়, হৰাত্মক গড়, মধ্যমা, বহুলক আৰু সিহঁতৰ ধৰ্মসমূহ (Data Analysis: Arithmetic mean, Geometric mean, Harmonic mean, Median, Mode and their properties) Solution | BA 1st Sem MDC Foundations of Mathematical Sciences - I Chapter 4 তথ্য বিশ্লেষণ: গাণিতিক গড়, জ্যামিতিক গড়, হৰাত্মক গড়, মধ্যমা, বহুলক আৰু সিহঁতৰ ধৰ্মসমূহ (Data Analysis: Arithmetic mean, Geometric mean, Harmonic mean, Median, Mode and their properties) Question Answer

Post Title edit কৰিব নোৱাৰিব। কেৱল Post Content update কৰিব পাৰিব।

Post Content

&nbsp;Unit 4

তথ্য বিশ্লেষণ: গাণিতিক গড় (Arithmetic mean), জ্যামিতিক গড়

১. অতি চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Very Short Questions &amp; Answers - 1 Mark Each)

প্ৰশ্ন ১: গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean) ৰ মান উলিওৱাৰ মূল সূত্ৰটো কি?

উত্তৰ: গাণিতিক গড়ৰ সূত্ৰ হ'ল — x̄ = ∑x / n ইয়াত ∑x = সকলো ৰাশিৰ যোগফল আৰু n = মুঠ ৰাশিৰ সংখ্যা।

প্ৰশ্ন ২: জ্যামিতিক গড় (Geometric Mean) নিৰ্ধাৰণ কৰোঁতে কোনো ৰাশিৰ মান শূন্য বা ঋণাত্মক হ'ব পাৰেনে?

উত্তৰ: নোৱাৰে। জ্যামিতিক গড় নিৰ্ণয়ৰ বাবে সকলো ৰাশিৰ মান ধনাত্মক আৰু শূন্যতকৈ ডাঙৰ হ'ব লাগে।

প্ৰশ্ন ৩: হৰাত্মক গড় (Harmonic Mean) কিহৰ অনুলোম বা প্ৰতিলোম (Reciprocal) ৰ ওপৰত আধাৰিত?

উত্তৰ: হৰাত্মক গড় তথ্যৰ ৰাশিসমূহৰ প্ৰতিলোমৰ গাণিতিক গড়ৰ প্ৰতিলোমৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি নিৰ্ণয় কৰা হয়।

প্ৰশ্ন ৪: ধৰা হ'ল তিনিটা গড় AM, GM, আৰু HM; সিহঁতৰ মাজৰ অসমতাৰ সম্পৰ্কটো (Empirical Relation) কি?

উত্তৰ: তিনিটা গড়ৰ মাজত সাধাৰণতে তলৰ সম্পৰ্কটো থাকে— AM ≥ GM ≥ HM।

প্ৰশ্ন ৫: মধ্যমা (Median) এ তথ্যৰ গোটটোক কিমানটা সমান ভাগত বিভক্ত কৰে?

উত্তৰ: মধ্যমাই তথ্যৰ গোটটোক দুটা সমান অংশত ভাগ কৰে। অৰ্থাৎ ৫০% তথ্য মধ্যমাৰ তলত আৰু ৫০% তথ্য ওপৰত থাকে।

প্ৰশ্ন ৬: তথ্যৰ বাৰংবাৰতা আটাইতকৈ বেছি থকা মানটোক কি বোলে?

উত্তৰ: যি মান তথ্যত সৰ্বাধিকবাৰ দেখা যায়, সেই মানক বহুলক (Mode) বোলে।

প্ৰশ্ন ৭: চতুৰ্থকে (Quartiles) তথ্যৰ সমগ্ৰ গোটটোক কিমানটা সমান ভাগত বিভক্ত কৰে?

উত্তৰ: চতুৰ্থকে তথ্যৰ সমগ্ৰ গোটটোক ৪টা সমান অংশত বিভক্ত কৰে।

প্ৰশ্ন ৮: দ্বিতীয় চতুৰ্থক (Q2) ৰ মান কাৰ সমান?

উত্তৰ: দ্বিতীয় চতুৰ্থক Q2 ৰ মান মধ্যমা (Median) ৰ সমান।

প্ৰশ্ন ৯: দশমক (Deciles) ৰ সংকেত সংখ্যা কিমান আৰু ই তথ্যক কেইভাগ কৰে?

উত্তৰ: দশমকৰ ৯টা বিভাজন মান থাকে, যাক D1 ৰ পৰা D9 লৈ প্ৰকাশ কৰা হয়। ই তথ্যক ১০টা সমান অংশত ভাগ কৰে।

প্ৰশ্ন ১০: ৫০ তম শতাংশক (P50) কোন বিভাজন মূল্যৰ সমতুল্য?

উত্তৰ: P50 ৰ মান মধ্যমা (Median), Q2 আৰু D5—এই তিনিওটাৰ সমান।

প্ৰশ্ন ১১: কোন লেখচিত্ৰৰ (Graph) সহায়ত লেখীয়ভাৱে বহুলক (Mode) নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি?

উত্তৰ: হিষ্ট'গ্ৰাম (Histogram) ৰ সহায়ত লেখীয়ভাৱে বহুলকৰ মান নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।

প্ৰশ্ন ১২: চতুৰ্থক, দশমক আৰু শতাংশকসমূহ লেখীয়ভাৱে নিৰ্ধাৰণ কৰিবলৈ কি ৰেখালেখ অংকন কৰা হয়?

উত্তৰ: চতুৰ্থক, দশমক আৰু শতাংশক নিৰ্ণয় কৰিবলৈ অজাঈভ (Ogive) বা ক্ৰমৱৰ্ধমান বাৰংবাৰতা ৰেখালেখ ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

প্ৰশ্ন ১৩: গাণিতিক গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ মাজত থকা অনুভৱিক সম্পৰ্কটো (Empirical Formula) কি?

উত্তৰ: গাণিতিক গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ অনুভৱিক সম্পৰ্কটো হ'ল— Mode = 3 Median − 2 Mean।

প্ৰশ্ন ১৪: গাণিতিক গড়ৰ পৰা লোৱা ৰাশিসমূহৰ বিচ্যুত্যিৰ (Deviations) বীজগাণিতিক যোগফল কিমান?

উত্তৰ: গাণিতিক গড়ৰ পৰা লোৱা সকলো বিচ্যুতিৰ বীজগাণিতিক যোগফল সদায় শূন্য হয়। অৰ্থাৎ, ∑(x − x̄) = 0।

প্ৰশ্ন ১৫: অতিশয় ডাঙৰ বা অতিশয় সৰু ক্ৰান্তীয় মানৰ (Extreme Values) দ্বাৰা আটাইতকৈ বেছি প্ৰভাৱিত হোৱা গড়টো কি?

উত্তৰ: অতিশয় ডাঙৰ বা সৰু মানে গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean) ক আটাইতকৈ বেছি প্ৰভাৱিত কৰে।

২. চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Short Answer Questions - 2 Marks Each)

প্ৰশ্ন ১: গাণিতিক গড়ৰ (Arithmetic Mean) দুটা প্ৰধান ধৰ্ম লিখা।

উত্তৰ: গাণিতিক গড়ৰ দুটা উল্লেখযোগ্য ধৰ্ম হ'ল— (১) গড়ৰ পৰা সকলো বিচ্যুতিৰ বীজগাণিতিক যোগফল শূন্য হয়। অৰ্থাৎ, ∑(x − x̄) = 0। (২) গড়ৰ পৰা লোৱা বিচ্যুতিবোৰৰ বৰ্গৰ যোগফল আন যিকোনো মানৰ পৰা লোৱা বিচ্যুতিৰ বৰ্গৰ যোগফলতকৈ সৰ্বনিম্ন হয়।

প্ৰশ্ন ২: জ্যামিতিক গড় (Geometric Mean) কিয় আৰু ক'ত ব্যৱহাৰ কৰা হয়?

উত্তৰ: অনুপাত, শতাংশ, বৃদ্ধিৰ হাৰ আদি ধৰণৰ তথ্যৰ গড় নিৰ্ণয় কৰোঁতে জ্যামিতিক গড় বিশেষভাৱে উপযোগী। যেনে— জনসংখ্যাৰ বৃদ্ধিৰ হাৰ, বিনিয়োগৰ বৃদ্ধি, মূল্য সূচকাংক আৰু সুদৰ হাৰ আদি ক্ষেত্ৰত ইয়াক ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

প্ৰশ্ন ৩: হৰাত্মক গড়ৰ (Harmonic Mean) গাণিতিক ধাৰণা আৰু ইয়াৰ ব্যৱহাৰ লিখা।

উত্তৰ: হৰাত্মক গড় হ'ল তথ্যৰ মানসমূহৰ প্ৰতিলোমৰ গাণিতিক গড়ৰ প্ৰতিলোম। ইয়াৰ সূত্ৰ— HM = n / ∑(1/x)। গড় গতিবেগ, গড় হাৰ আৰু সময়-দূৰত্বৰ সৈতে জড়িত সমস্যাত হৰাত্মক গড় অধিক উপযোগী।

প্ৰশ্ন ৪: মধ্যমাৰ (Median) দুটা প্ৰধান সুবিধা আৰু অসুবিধা লিখা।

উত্তৰ: মধ্যমাৰ সুবিধা দুটা হ'ল— (১) ই অতি ডাঙৰ বা সৰু মানৰ দ্বাৰা বিশেষভাৱে প্ৰভাৱিত নহয়। (২) মুক্ত-সীমা থকা শ্ৰেণী বিভাজনতো ইয়াক সহজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।

অসুবিধা দুটা হ'ল— (১) ইয়াত সকলো তথ্যৰ মান সম্পূৰ্ণৰূপে ব্যৱহাৰ কৰা নহয়। (২) ইয়াৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি বীজগাণিতিক গণনা কৰা তুলনামূলকভাৱে কঠিন।

প্ৰশ্ন ৫: বহুলক (Mode) কি? ইয়াক কিদৰে নিৰ্ধাৰণ কৰা হয়?

উত্তৰ: যি মান এটা তথ্যসমষ্টিত সৰ্বাধিক বাৰ দেখা যায়, সেই মানক বহুলক বোলে। সৰল তথ্যত সৰ্বাধিক বাৰংবাৰতা থকা মানটো বহুলক হিচাপে লোৱা হয়। ধাৰাবাহিক শ্ৰেণী বিভাজনৰ ক্ষেত্ৰত তলৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰা হয়— Mode = L + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h।

প্ৰশ্ন ৬: বিভাজন মূল্য (Partition Values) বুলিলে কি বুজা? উদাহৰণ দিয়া।

উত্তৰ: ক্ৰম অনুসৰি সজোৱা তথ্যসমষ্টিক কেইবাটাও সমান অংশত বিভক্ত কৰা নিৰ্দিষ্ট মানবোৰক বিভাজন মূল্য বোলে। ইয়াৰ উদাহৰণ হ'ল— চতুৰ্থক, দশমক আৰু শতাংশক। চতুৰ্থকে ৪ ভাগ, দশমকে ১০ ভাগ আৰু শতাংশকে ১০০ ভাগ কৰে।

প্ৰশ্ন ৭: প্ৰথম চতুৰ্থক (Q1) আৰু তৃতীয় চতুৰ্থক (Q3) ৰ অৰ্থ বুজাই লিখা।

উত্তৰ: Q1 বা প্ৰথম চতুৰ্থক হৈছে সেই মান, যাৰ তলত তথ্যৰ ২৫% অংশ থাকে। Q3 বা তৃতীয় চতুৰ্থক হৈছে সেই মান, যাৰ তলত ৭৫% তথ্য থাকে। অৰ্থাৎ Q3 ৰ ওপৰত ২৫% তথ্য থাকে।

প্ৰশ্ন ৮: শতাংশক (Percentiles) ৰ ব্যৱহাৰিক গুৰুত্ব কি?

উত্তৰ: শতাংশকে তথ্যক ১০০টা সমান ভাগত বিভক্ত কৰে। ইয়াৰ সহায়ত কোনো ব্যক্তিৰ স্থান বা অৱস্থান আন ব্যক্তিৰ তুলনাত নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি। পৰীক্ষাৰ ফলাফল, শিশুৰ বৃদ্ধি আৰু স্বাস্থ্যৰ তথ্য বিশ্লেষণ আদিত শতাংশকৰ ব্যৱহাৰ হয়।

প্ৰশ্ন ৯: হিষ্ট'গ্ৰামৰ (Histogram) সহায়ত লেখীয়ভাৱে বহুলক (Mode) কিদৰে নিৰ্ণয় কৰা হয়?

উত্তৰ: প্ৰথমে হিষ্ট'গ্ৰামত সৰ্বাধিক উচ্চতাৰ স্তম্ভটো চিনাক্ত কৰা হয়। এই স্তম্ভটোৱেই বহুলক শ্ৰেণী। তাৰ পিছত নিৰ্দিষ্ট জ্যামিতিক ৰেখা টানি ছেদবিন্দু নিৰ্ণয় কৰা হয়। ছেদবিন্দুৰ পৰা X-অক্ষলৈ লম্ব টানিলে X-অক্ষত পোৱা মানটোৱেই বহুলকৰ মান।

প্ৰশ্ন ১০: অজাঈভ (Ogive) ব্যৱহাৰ কৰি কিদৰে চতুৰ্থকসমূহ (Q1, Q2, Q3) লেখীয়ভাৱে পোৱা যায়?

উত্তৰ: প্ৰথমে Y-অক্ষত N/4, N/2 আৰু 3N/4 মান চিহ্নিত কৰা হয়। এই মানসমূহৰ পৰা X-অক্ষৰ সমান্তৰালভাৱে ৰেখা টানি অজাঈভক ছেদ কৰোৱা হয়। ছেদবিন্দুৰ পৰা X-অক্ষলৈ লম্ব টানিলে ক্ৰমে Q1, Q2 আৰু Q3 ৰ মান পোৱা যায়।

প্ৰশ্ন ১১: গাণিতিক গড়, জ্যামিতিক গড় আৰু হৰাত্মক গড়ৰ মাজৰ সম্পৰ্কটো (AM, GM, HM) গাণিতিকভাৱে বুজাই লিখা।

উত্তৰ: ধনাত্মক আৰু সকলো মান সমান নহ'লে গড়সমূহৰ মাজত সাধাৰণতে— AM &gt; GM &gt; HM। আকৌ, সকলো তথ্যৰ মান সমান হ'লে— AM = GM = HM। দুটা ধনাত্মক সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত— GM² = AM × HM।

প্ৰশ্ন ১২: যোগ কৰা গড় বা সংযোজিত গড় (Combined Mean) কি?

উত্তৰ: দুই বা ততোধিক গোটৰ গড় একেলগে কৰি সমগ্ৰ গোটটোৰ গড় নিৰ্ণয় কৰাকে সংযোজিত গড় বোলে। দুটা গোটৰ ক্ষেত্ৰত ইয়াৰ সূত্ৰ— x̄₁₂ = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂)/(n₁ + n₂)। ইয়াত n₁, n₂ হৈছে গোট দুটাৰ আকাৰ আৰু x̄₁, x̄₂ হৈছে সিহঁতৰ গড়।

প্ৰশ্ন ১৩: বিষমতাপূৰ্ণ বা হেলনীয়া (Skewed) বিভাজনত গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ অৱস্থান কেনেকুৱা হয়?

উত্তৰ: ধনাত্মকভাৱে হেলনীয়া বিভাজনত— Mean &gt; Median &gt; Mode।

ঋণাত্মকভাৱে হেলনীয়া বিভাজনত— Mean &lt; Median &lt; Mode।

অৰ্থাৎ হেলনীয়া বিভাজনত গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ স্থান একে নহয়।

প্ৰশ্ন ১৪: দশমক (Deciles) আৰু শতাংশকৰ (Percentiles) পৰস্পৰ সম্পৰ্ক লিখা।

উত্তৰ: দশমক আৰু শতাংশক দুয়োটাই তথ্য বিভাজন কৰা মান। সিহঁতৰ মাজত সম্পৰ্ক হ'ল— D₁ = P₁₀, D₂ = P₂₀, D₃ = P₃₀, D₄ = P₄₀, D₅ = P₅₀, …, D₉ = P₉₀। ইয়াত D₅ = P₅₀ = Median।

প্ৰশ্ন ১৫: মুক্ত-সীমা থকা শ্ৰেণী বিভাজনৰ (Open-ended classes) বাবে কোনটো কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপ আটাইতকৈ উপযুক্ত?

উত্তৰ: মুক্ত-সীমা থকা শ্ৰেণী বিভাজনৰ বাবে মধ্যমা (Median) আটাইতকৈ উপযুক্ত। কাৰণ মধ্যমা নিৰ্ণয় কৰিবলৈ প্ৰথম বা শেষ শ্ৰেণীৰ সীমা সম্পূৰ্ণৰূপে জনা প্ৰয়োজন নহয়। কিন্তু গাণিতিক গড় নিৰ্ণয়ৰ বাবে সকলো শ্ৰেণীৰ সীমা বা মধ্যবিন্দু জনা প্ৰয়োজন হয়।

৩. দীঘল প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Long Answer Questions - 5 Marks Each)

প্ৰশ্ন ১: কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ তিনিটা মূল মাপ— গাণিতিক গড়, জ্যামিতিক গড় আৰু হৰাত্মক গড়ৰ সৱিস্তৰে তুলনা কৰা। সিহঁতৰ প্ৰয়োগিক উপযোগিতা উদাহৰণসহ বৰ্ণনা কৰা।

উত্তৰ: কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতা নিৰ্ণয়ৰ বাবে গাণিতিক গড়, জ্যামিতিক গড় আৰু হৰাত্মক গড় ব্যৱহাৰ কৰা হয়। সিহঁতৰ বৈশিষ্ট্য আৰু ব্যৱহাৰৰ ক্ষেত্ৰ বেলেগ বেলেগ।

১/ গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean - AM): সকলো তথ্যৰ মান যোগ কৰি মুঠ মানৰ সংখ্যাৰে ভাগ কৰিলে গাণিতিক গড় পোৱা যায়। ই সকলো তথ্যৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে আৰু গণনা কৰাটো সহজ। সাধাৰণ নম্বৰ, আয়, উৎপাদন আদি তথ্যৰ গড় নিৰ্ণয়ত ইয়াক ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

২/ জ্যামিতিক গড় (Geometric Mean - GM): সকলো ধনাত্মক মানৰ পূৰণফলৰ n-তম মূলক জ্যামিতিক গড় বোলে। বৃদ্ধিৰ হাৰ, জনসংখ্যা বৃদ্ধি, মূল্য সূচকাংক আৰু যৌগিক সুদৰ দৰে ক্ষেত্ৰত ই অধিক উপযোগী।

৩/ হৰাত্মক গড় (Harmonic Mean - HM): তথ্যৰ মানসমূহৰ প্ৰতিলোমৰ গাণিতিক গড়ৰ প্ৰতিলোমক হৰাত্মক গড় বোলে। গড় গতিবেগ, কামৰ হাৰ আৰু মূল্য-সম্পৰ্কীয় হাৰ নিৰ্ণয়ত ইয়াক ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

সম্পৰ্ক: ধনাত্মক মানৰ ক্ষেত্ৰত সাধাৰণতে— AM ≥ GM ≥ HM।

সেয়েহে তথ্যৰ প্ৰকৃতি আৰু উদ্দেশ্য অনুসৰি উপযুক্ত গড় নিৰ্বাচন কৰা উচিত।

প্ৰশ্ন ২: বিভাজন মূল্য (Partition Values) কি? চতুৰ্থক (Quartiles), দশমক (Deciles) আৰু শতাংশকৰ (Percentiles) গাণিতিক সূত্ৰ আৰু ধাৰণা বিস্তৃতভাৱে ব্যাখ্যা কৰা।

উত্তৰ: ক্ৰম অনুসৰি সজোৱা তথ্যসমষ্টিক কেইবাটাও সমান অংশত ভাগ কৰা নিৰ্দিষ্ট স্থানমূল্যসমূহক বিভাজন মূল্য বোলে। চতুৰ্থক, দশমক আৰু শতাংশক ইয়াৰ প্ৰধান উদাহৰণ।

১/ চতুৰ্থক (Quartiles): তথ্যক ৪টা সমান অংশত ভাগ কৰে। Q1, Q2 আৰু Q3 হৈছে তিনিটা চতুৰ্থক। Q1 = ২৫%, Q2 = ৫০% আৰু Q3 = ৭৫% স্থানত থাকে।

সূত্ৰ: Qi = L + [(iN/4 − c.f.)/f] × h, য'ত i = 1, 2, 3।

২/ দশমক (Deciles): তথ্যক ১০টা সমান অংশত ভাগ কৰে। ইয়াত D1 ৰ পৰা D9 লৈ ৯টা দশমক থাকে।

সূত্ৰ: Di = L + [(iN/10 − c.f.)/f] × h, য'ত i = 1, 2, ..., 9।

৩/ শতাংশক (Percentiles): তথ্যক ১০০টা সমান অংশত ভাগ কৰে। P1 ৰ পৰা P99 লৈ ৯৯টা শতাংশক থাকে।

সূত্ৰ: Pi = L + [(iN/100 − c.f.)/f] × h, য'ত i = 1, 2, ..., 99।

ইয়াত L = শ্ৰেণীৰ নিম্ন সীমা, c.f. = পূৰ্বৱৰ্তী ক্ৰমৱৰ্ধমান বাৰংবাৰতা, f = শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা আৰু h = শ্ৰেণী প্ৰসাৰ।

প্ৰশ্ন ৩: হিষ্ট'গ্ৰাম অংকন কৰি লেখীয়ভাৱে বহুলক (Mode) কিদৰে পাওঁ, সংক্ষেপে বৰ্ণনা কৰা। কোনো ধাৰাবাহিক বিভাজনৰ সৰ্বাধিক বাৰংবাৰতাযুক্ত শ্ৰেণী ১০–২০, ইয়াৰ বাৰংবাৰতা ১৫, পূৰ্ববৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা ১০ আৰু পৰৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা ৮ হ'লে বহুলকৰ মান হিচাপ কৰা।

উত্তৰ: প্ৰথমে দিয়া ধাৰাবাহিক বাৰংবাৰতা বিভাজনৰ পৰা হিষ্ট'গ্ৰাম অংকন কৰা হয়। যিটো শ্ৰেণীৰ স্তম্ভ আটাইতকৈ ওখ হয়, সেইটো বহুলক শ্ৰেণী। তাৰ পিছত নিৰ্দিষ্ট ৰেখা টানি ছেদবিন্দু নিৰ্ণয় কৰি সেই বিন্দুৰ পৰা X-অক্ষলৈ লম্ব টনা হয়। X-অক্ষত পোৱা মানটোৱেই বহুলক।

দিয়া আছে— বহুলক শ্ৰেণী = ১০–২০ L = ১০, h = ১০ f₁ = ১৫, f₀ = ১০, f₂ = ৮

সূত্ৰ: Mode = L + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h

= ১০ + [(১৫ − ১০)/(৩০ − ১০ − ৮)] × ১০ = ১০ + (৫/১২) × ১০ = ১০ + ৪.১৭ = ১৪.১৭

উত্তৰ: বহুলকৰ মান = ১৪.১৭।

প্ৰশ্ন ৪: অজাঈভ (Ogive) ৰ সহায়ত মধ্যমা (Median), প্ৰথম চতুৰ্থক (Q1) আৰু তৃতীয় চতুৰ্থক (Q3) ৰ লেখীয় স্থান নিৰ্ধাৰণ পদ্ধতি সৱিস্তাৰে ব্যাখ্যা কৰা।

উত্তৰ: অজাঈভ বা ক্ৰমৱৰ্ধমান বাৰংবাৰতা ৰেখালেখৰ সহায়ত মধ্যমা আৰু চতুৰ্থকসমূহ লেখীয়ভাৱে সহজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।

১/ প্ৰথমে তথ্যসমূহৰ ‘তকৈ কম’ ক্ৰমৱৰ্ধমান বাৰংবাৰতা উলিওৱা হয় আৰু তাৰ ভিত্তিত অজাঈভ অংকন কৰা হয়।

২/ মধ্যমা (Q2): Y-অক্ষত N/2 মান চিহ্নিত কৰি তাৰ পৰা X-অক্ষৰ সমান্তৰাল ৰেখা টনা হয়। অজাঈভক ছেদ কৰা বিন্দুৰ পৰা X-অক্ষলৈ লম্ব টানিলে পোৱা মানটোৱেই মধ্যমা।

৩/ প্ৰথম চতুৰ্থক (Q1): Y-অক্ষত N/4 মান লৈ একে পদ্ধতিৰে X-অক্ষত লম্ব টনা হয়। পোৱা মানটোৱেই Q1।

৪/ তৃতীয় চতুৰ্থক (Q3): Y-অক্ষত 3N/4 মান লৈ অজাঈভক ছেদ কৰাই X-অক্ষলৈ লম্ব টনা হয়। পোৱা মানটোৱেই Q3।

এইদৰে অজাঈভৰ সহায়ত Q1, Q2 আৰু Q3 ৰ মান লেখীয়ভাৱে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।

প্ৰশ্ন ৫: এটা আদৰ্শ কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপৰ (Ideal Measure of Central Tendency) কি কি গুণ থাকিব লাগে? বিভিন্ন পৰিস্থিতিত গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ উপযুক্ততা আলোচনা কৰা।

উত্তৰ: এটা আদৰ্শ কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপৰ তলত দিয়া গুণসমূহ থকা উচিত—

১/ ইয়াৰ সংজ্ঞা স্পষ্ট আৰু নিৰ্দিষ্ট হ'ব লাগে। ২/ যিমান সম্ভৱ সকলো তথ্যৰ মানৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি নিৰ্ণয় কৰিব পৰা হ'ব লাগে। ৩/ ইয়াৰ গণনা সহজ আৰু বুজিবলৈ সুবিধাজনক হ'ব লাগে। ৪/ পৰৱৰ্তী গাণিতিক বিশ্লেষণত ব্যৱহাৰ কৰিব পৰা হ'ব লাগে। ৫/ নমুনা পৰিৱৰ্তনৰ দ্বাৰা অতি বেছি প্ৰভাৱিত হ'ব নালাগে। ৬/ অতি ডাঙৰ বা সৰু মানৰ দ্বাৰা অত্যধিক প্ৰভাৱিত হ'ব নালাগে।

বিভিন্ন পৰিস্থিতিত উপযুক্ততা:

১/ গাণিতিক গড়: সাধাৰণ আৰু সুষম সংখ্যাগত তথ্যৰ ক্ষেত্ৰত উপযুক্ত। যেনে— ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ পৰীক্ষাৰ গড় নম্বৰ।

২/ মধ্যমা: হেলনীয়া তথ্য, ক্ৰান্তীয় মান থকা তথ্য আৰু মুক্ত-সীমা থকা শ্ৰেণীৰ বাবে অধিক উপযুক্ত। যেনে— মানুহৰ আয়ৰ বিতৰণ।

৩/ বহুলক: সৰ্বাধিক ব্যৱহৃত বা জনপ্ৰিয় মান নিৰ্ণয়ৰ ক্ষেত্ৰত উপযোগী। যেনে— বজাৰত সৰ্বাধিক বিক্ৰী হোৱা জোতাৰ সাইজ বা কাপোৰৰ সাইজ।

সেয়েহে, তথ্যৰ প্ৰকৃতি অনুসৰি গড়, মধ্যমা বা বহুলকৰ মাজৰ পৰা উপযুক্ত মাপটো বাছি লোৱা হয়।

*****

Your Email ID

Verification record-ৰ বাবে Email ID প্রয়োজন। Name নালাগে।

What did you update?

আপুনি কি কি সলনি কৰিলে সৰুকৈ লিখক। Admin Review page-ত automatic change highlight-ও দেখা যাব।

Submit কৰাৰ পাছত এই Update টো Pending Verification হিচাপে save হ'ব।

Update This Post

My Subjects