Unit 2
শতাংশ (Percentage), গড়, ৰেহাই (Discount), লাভ আৰু লোকচান
১. অতি চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Very Short Questions & Answers – 1 Mark Each)
প্ৰশ্ন ১: গতি (Speed), দূৰত্ব (Distance) আৰু সময়ৰ (Time) সম্পৰ্কটো কি?
উত্তৰ: গতি = দূৰত্ব / সময় (Speed = Distance / Time)।
প্ৰশ্ন ২: বাৰ্ষিকী (Annuity) বুলিলে কি বুজায়?
উত্তৰ: নিৰ্দিষ্ট সময়ৰ ব্যৱধানত ধাৰাবাহিকভাৱে পৰিশোধ বা গ্ৰহণ কৰা সম-পৰিমাণৰ ধনৰ কিস্তিক বাৰ্ষিকী বোলে।
প্ৰশ্ন ৩: ৫ টা সংখ্যাৰ যোগফল ১৫০ হ’লে সিহঁতৰ গড় কিমান?
উত্তৰ: গড় = ১৫০ / ৫ = ৩০।
প্ৰশ্ন ৪: এটা সাধাৰণ বছৰত (Non-leap year) অতিৰিক্ত দিন (Odd Days) কিমানটা থাকে?
উত্তৰ: ১ টা দিন (৩৬৫ ÷ ৭ = ৫২ সপ্তাহ আৰু ১ অতিৰিক্ত দিন)।
প্ৰশ্ন ৫: ক্ৰয় মূল্য ৫০০ টকা আৰু বিক্ৰী মূল্য ৫৫০ টকা হ’লে লাভৰ শতাংশ কিমান?
উত্তৰ: লাভ = ৫০ টকা; লাভৰ শতাংশ = (৫০/৫০০) × ১০০% = ১০%।
প্ৰশ্ন ৬: নাও এখনৰ স্থিত পানীত বেগ u আৰু সোঁতৰ বেগ v হ’লে সোঁতৰ অনুকূলে (Downstream) বেগ কিমান?
উত্তৰ: (u + v)।
প্ৰশ্ন ৭: ভগ্নাংশ 3/5 ক শতাংশলৈ ৰূপান্তৰ কৰিলে ইয়াৰ মান কিমান হ’ব?
উত্তৰ: (3/5) × 100% = 60%।
প্ৰশ্ন ৮: যদি এটা পাইপে চৌবাচ্চা এটা ৪ ঘণ্টাত পূৰ কৰে, ১ ঘণ্টাত কিমান অংশ পূৰ হ’ব?
উত্তৰ: ১/৪ অংশ।
প্ৰশ্ন ৯: অংশীদাৰিত্বৰ ব্যৱসায়ত লাভৰ বণ্টন কিহৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে?
উত্তৰ: বিনিয়োগ কৰা মূলধন আৰু সময়ৰ গুণফলৰ অনুপাতৰ ওপৰত।
প্ৰশ্ন ১০: ঘড়ীৰ মিনিটৰ কাটাডালে ১ মিনিটত কিমান ডিগ্ৰী কোণ অতিক্ৰম কৰে?
উত্তৰ: ৬° (৩৬০° / ৬০ মিনিট)।
প্ৰশ্ন ১১: ৰেহাই (Discount) সদায় বস্তুৰ কোনটো মূল্যৰ ওপৰত গণনা কৰা হয়?
উত্তৰ: লিখিত মূল্য বা ধাৰ্য্য মূল্যৰ (Marked Price) ওপৰত।
প্ৰশ্ন ১২: যদি এজন মানুহে এটা কাম ১০ দিনত কৰিব পাৰে, তেন্তে ১ দিনত তেওঁ কামটোৰ কিমান অংশ কৰিব?
উত্তৰ: ১/১০ অংশ।
প্ৰশ্ন ১৩: সৰল সুত নিৰূপণৰ মূল সূত্ৰ SI কি?
উত্তৰ: SI = (P × R × T) / 100।
প্ৰশ্ন ১৪: ১ কিমি/ঘণ্টাক মিটাৰ/ছেকেণ্ডালৈ ৰূপান্তৰ কৰিবলৈ কিহেৰে পূৰণ কৰিব লাগে?
উত্তৰ: ৫/১৮ ৰে (5/18)।
প্ৰশ্ন ১৫: দৌৰ খেলত “Dead Heat” বুলিলে কি বুজায়?
উত্তৰ: যেতিয়া প্ৰতিযোগীসকলে একে সময়তে শেষ ৰেখা স্পৰ্শ কৰে আৰু খেলখন অমীমাংসিতভাৱে সমাপ্ত হয়।
২. চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Short Answer Questions – 2 Marks Each)
প্ৰশ্ন ১: বস্তু একটাৰ দাম ২০% বৃদ্ধি পাই পাছত ২০% হ্ৰাস পালে, সামগ্ৰিকভাৱে মূল্যৰ কি পৰিৱৰ্তন হ’ব?
উত্তৰ: ধৰা হওক, বস্তুটোৰ প্ৰাৰম্ভিক মূল্য ১০০ টকা। ২০% বৃদ্ধি পালে মূল্য = ১২০ টকা। এতিয়া ১২০ টকাৰ ২০% হ্ৰাস = ২৪ টকা। সেয়ে নতুন মূল্য = ১২০ − ২৪ = ৯৬ টকা। গতিকে সামগ্ৰিকভাৱে মূল্য ৪% হ্ৰাস পাব।
প্ৰশ্ন ২: ১০ টা সংখ্যাৰ গড় ২৫। প্ৰতিটো সংখ্যাৰ সৈতে ৫ যোগ কৰিলে নতুন গড় কিমান হ’ব?
উত্তৰ: প্ৰতিটো সংখ্যাৰ সৈতে ৫ যোগ কৰিলে গড়টোও ৫ বৃদ্ধি পাব। সেয়ে নতুন গড় = ২৫ + ৫ = ৩০। গতিকে নতুন গড় ৩০।
প্ৰশ্ন ৩: ক্ৰমৱৰ্তী ৰেহাই (Successive Discounts) ১০% আৰু ২০% ৰ সমান এক একক ৰেহাই কিমান?
উত্তৰ: একক ৰেহাই = d₁ + d₂ − (d₁ × d₂)/100
= ১০ + ২০ − (১০ × ২০)/১০০
= ৩০ − ২
= ২৮%।
গতিকে সমান একক ৰেহাই ২৮%।
প্ৰশ্ন ৪: পিতা আৰু পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়সৰ অনুপাত ৪:১। ৫ বছৰ পাছত সিহঁতৰ বয়সৰ যোগফল ৬০ বছৰ হ’লে পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়স কিমান?
উত্তৰ: পিতা আৰু পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়স ক্ৰমে ৪x আৰু x বছৰ ধৰা হওক। ৫ বছৰ পাছত তেওঁলোকৰ বয়স হ’ব ৪x + ৫ আৰু x + ৫।
প্ৰশ্নমতে, ৪x + ৫ + x + ৫ = ৬০
⇒ ৫x + ১০ = ৬০
⇒ ৫x = ৫০
⇒ x = ১০।
গতিকে পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়স ১০ বছৰ।
প্ৰশ্ন ৫: এজন মানুহে ৬০ কিমি/ঘণ্টা বেগেৰে গৈ ১২০ কিমি পথ অতিক্ৰম কৰে। তেওঁৰ লগা সময় উলিওৱা।
উত্তৰ: সময় = দূৰত্ব ÷ গতি
= ১২০ ÷ ৬০
= ২ ঘণ্টা।
গতিকে মানুহজনৰ লগা সময় ২ ঘণ্টা।
প্ৰশ্ন ৬: A আৰু B য়ে এটা কাম ক্ৰমে ১২ দিন আৰু ২৪ দিনত সম্পূৰ্ণ কৰিব পাৰে। দুয়ো একেলগে কৰিলে কামটো কিমান দিনত শেষ হ’ব?
উত্তৰ: A-ই ১ দিনত কৰে = ১/১২ অংশ।
B-ই ১ দিনত কৰে = ১/২৪ অংশ।
দুয়ো মিলি ১ দিনত কৰে = ১/১২ + ১/২৪ = ৩/২৪ = ১/৮ অংশ।
সেয়ে সম্পূৰ্ণ কামটো কৰিবলৈ সময় = ৮ দিন।
গতিকে কামটো ৮ দিনত শেষ হ’ব।
প্ৰশ্ন ৭: ৪:৩০ বাজাত ঘড়ীৰ ঘণ্টা আৰু মিনিটৰ কাটাৰ মাজৰ কোণ কিমান?
উত্তৰ: ৪:৩০ বজাত মিনিটৰ কাঁটা ৬-ৰ ওপৰত থাকে আৰু ঘণ্টাৰ কাঁটা ৪ আৰু ৫-ৰ মাজত থাকে। দুয়োটা কাঁটাৰ মাজৰ সৰু কোণ = ৪৫°।
গতিকে কোণ ৪৫°।
প্ৰশ্ন ৮: লিপ ইয়াৰ (Leap Year) কি আৰু ইয়াত কিমানটা অতিৰিক্ত দিন (Odd Days) থাকে?
উত্তৰ: যি বছৰত ৩৬৬ দিন থাকে আৰু ফেব্ৰুৱাৰী মাহত ২৯ দিন হয়, সেই বছৰক লিপ ইয়াৰ বোলে। লিপ ইয়াৰত ৫২ সপ্তাহ আৰু ২টা অতিৰিক্ত দিন থাকে। গতিকে লিপ ইয়াৰৰ Odd Days = ২টা।
প্ৰশ্ন ৯: সমানুপাতৰ চৰ্ত ($a:b = c:d$) ব্যাখা কৰা।
উত্তৰ: যেতিয়া দুটা অনুপাত পৰস্পৰৰ সমান হয়, তেতিয়া তাক সমানুপাত বোলে। অৰ্থাৎ, a:b = c:d হ’লে ইয়াক সমানুপাত বুলি কোৱা হয়। ইয়াৰ মুখ্য চৰ্ত হ’ল—প্ৰান্তীয় পদৰ গুণফল মধ্যম পদৰ গুণফলৰ সমান। সেয়ে, ad = bc।
প্ৰশ্ন ১০: ফলপ্ৰসূ সুতৰ হার (Effective Rate of Interest) বুলিলে কি বুজা?
উত্তৰ: এক বছৰত প্ৰকৃততে লাভ কৰা বা পৰিশোধ কৰা বাৰ্ষিক সুতৰ হাৰক ফলপ্ৰসূ সুতৰ হাৰ বোলে। বছৰত এবাৰতকৈ অধিকবাৰ চক্রবৃদ্ধি হ’লে এই হাৰ সাধাৰণতে নামমাত্ৰ সুতৰ হাৰতকৈ অধিক হয়।
প্ৰশ্ন ১১: বৰ্তমান মূল্য (Present Value) আৰু ভৱিষ্যত মূল্যৰ (Future Value) পাৰ্থক্য লিখা।
উত্তৰ: বৰ্তমান মূল্য (PV) হ’ল ভৱিষ্যতে পোৱা ধনৰ আজিৰ মূল্য। আনহাতে, ভৱিষ্যত মূল্য (FV) হ’ল বৰ্তমানৰ ধন নিৰ্দিষ্ট সময়ৰ বাবে সুতত ৰাখিলে ভৱিষ্যতে পোৱা মুঠ ধনৰ পৰিমাণ। অৰ্থাৎ PV বৰ্তমান সময়ৰ মূল্য আৰু FV ভৱিষ্যৎ সময়ৰ মূল্য।
প্ৰশ্ন ১২: সংমিশ্ৰণ নিয়ম (Alligation Rule) ৰ গাণিতিক সূত্ৰটো কি?
উত্তৰ: দুটা ভিন্ন মূল্যৰ বস্তু মিহলাই এটা মধ্যম মূল্যৰ সংমিশ্ৰণ তৈয়াৰ কৰিলে সস্তা আৰু দামী বস্তুৰ পৰিমাণৰ অনুপাত নিৰ্ণয় কৰিবলৈ Alligation Rule ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
ইয়াৰ সূত্ৰ—
সস্তা বস্তু : দামী বস্তু = (দামী মূল্য − মধ্যম মূল্য) : (মধ্যম মূল্য − সস্তা মূল্য)।
প্ৰশ্ন ১৩: নাও এখনৰ সোঁতৰ অনুকূলে বেগ ১৫ কিমি/ঘণ্টা আৰু সোঁতৰ প্ৰতিকূলে বেগ ৯ কিমি/ঘণ্টা হ’লে স্থিত পানীত নাওখনৰ বেগ কিমান?
উত্তৰ: স্থিত পানীত নাওখনৰ বেগ = (অনুকূলে বেগ + প্ৰতিকূলে বেগ) ÷ ২
= (১৫ + ৯) ÷ ২
= ২৪ ÷ ২
= ১২ কিমি/ঘণ্টা।
গতিকে স্থিত পানীত নাওখনৰ বেগ ১২ কিমি/ঘণ্টা।
প্ৰশ্ন ১৪: পাইপ A ই ১০ ঘণ্টাত চৌবাচ্চা পূৰ কৰে আৰু পাইপ B ই ১৫ ঘণ্টাত খালি কৰে। দুয়ো একেলগে খুলিলে চৌবাচ্চা কিমান সময়ত সম্পূৰ্ণ পূৰ হ’ব?
উত্তৰ: A-ই ১ ঘণ্টাত পূৰ কৰে = ১/১০ অংশ।
B-ই ১ ঘণ্টাত খালি কৰে = ১/১৫ অংশ।
দুয়ো একেলগে ১ ঘণ্টাত পূৰ কৰে = ১/১০ − ১/১৫ = ১/৩০ অংশ।
সেয়ে সম্পূৰ্ণ চৌবাচ্চা পূৰ হ’বলৈ সময় = ৩০ ঘণ্টা।
গতিকে চৌবাচ্চাটো ৩০ ঘণ্টাত পূৰ হ’ব।
প্ৰশ্ন ১৫: ১০০ মিটাৰ দৌৰত A ই B ক ১০ মিটাৰত হৰুৱায়। ইয়াৰ অৰ্থ গাণিতিকভাৱে বুজাই লিখা।
উত্তৰ: A-ই ১০০ মিটাৰ দৌৰ সম্পূৰ্ণ কৰাৰ সময়ত B-ই ৯০ মিটাৰহে অতিক্ৰম কৰিব পাৰে। অৰ্থাৎ, A-ই B-ক ১০ মিটাৰ আগত ৰাখি দৌৰ সম্পূৰ্ণ কৰে। সেয়ে A আৰু B-ৰ দূৰত্বৰ অনুপাত = ১০০ : ৯০ = ১০ : ৯।
৩. দীঘল প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Long Answer Questions – 5 Marks Each)
প্ৰশ্ন ১: সৰল সুত আৰু চক্ৰবৃদ্ধি সুতৰ মূল পাৰ্থক্য বুজাই লিখা। ১০,০০০ টকাৰ ১০% বার্ষিক সুতৰ হাৰত ২ বছৰৰ সৰল সুত আৰু চক্ৰবৃদ্ধি সুতৰ পাৰ্থক্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰ: সৰল সুতত কেৱল মূলধনৰ ওপৰত সুত গণনা কৰা হয়। কিন্তু চক্ৰবৃদ্ধি সুতত পূৰ্বৰ সুত মূলধনৰ সৈতে যোগ হৈ পৰৱৰ্তী সময়ত সেই মুঠ ধনৰ ওপৰত পুনৰ সুত গণনা কৰা হয়।
দিয়া আছে—
মূলধন (P) = ১০,০০০ টকা
সুতৰ হাৰ (R) = ১০%
সময় (T) = ২ বছৰ।
সৰল সুত,
SI = (P × R × T)/100
= (১০,০০০ × ১০ × ২)/১০০
= ২,০০০ টকা।
চক্ৰবৃদ্ধি সুতত,
A = P(1 + R/100)²
= ১০,০০০ × (১.১)²
= ১২,১০০ টকা।
সেয়ে, CI = ১২,১০০ − ১০,০০০ = ২,১০০ টকা।
গতিকে, CI − SI = ২,১০০ − ২,০০০ = ১০০ টকা।
উত্তৰ: ২ বছৰৰ সৰল সুত আৰু চক্ৰবৃদ্ধি সুতৰ পাৰ্থক্য ১০০ টকা।
প্ৰশ্ন ২: সময়, গতি আৰু দূরত্বৰ মূল সূত্ৰ আলোচনা কৰা। ১৫০ মিটাৰ দীঘল ৰেলগাড়ী এখনে ৬০ কিমি/ঘণ্টা বেগেৰে গৈ বিপৰীত দিশৰ পৰা ৩০ কিমি/ঘণ্টা বেগেৰে অহা ১৫০ মিটাৰ দীঘল আন এখন ৰেলগাড়ীক কিমান সময়ত অতিক্ৰম কৰিব?
উত্তৰ: সময়, গতি আৰু দূৰত্বৰ মাজৰ সম্পৰ্ক হ’ল—
গতি = দূৰত্ব ÷ সময়
সময় = দূৰত্ব ÷ গতি
দূৰত্ব = গতি × সময়।
ইয়াত ৰেলগাড়ী দুখন বিপৰীত দিশৰ পৰা অহাৰ বাবে আপেক্ষিক গতি = ৬০ + ৩০ = ৯০ কিমি/ঘণ্টা।
অতিক্ৰম কৰিবলগীয়া মুঠ দূৰত্ব = ১৫০ + ১৫০ = ৩০০ মিটাৰ।
৯০ কিমি/ঘণ্টা = ৯০ × ৫/১৮ = ২৫ মিটাৰ/ছেকেণ্ড।
সেয়ে, সময় = ৩০০ ÷ ২৫ = ১২ ছেকেণ্ড।
উত্তৰ: ৰেলগাড়ী দুখনে পৰস্পৰক ১২ ছেকেণ্ডত অতিক্ৰম কৰিব।
প্ৰশ্ন ৩: সময় আৰু কাৰ্য সম্পৰ্কীয় গাণিতিক ধাৰণা বৰ্ণনা কৰা। A ই এটা কাম ২০ দিনত আৰু B ই ৩০ দিনত কৰিব পাৰে। দুয়ো একেলগে ৫ দিন কাম কৰাৰ পাছত A গুচি গ’ল। বাকী কামখিনি B ই অকলে কিমান দিনত শেষ কৰিব?
উত্তৰ: কোনো এটা কাম সম্পূৰ্ণ কৰিবলৈ যদি এজন ব্যক্তিৰ n দিন লাগে, তেন্তে তেওঁ ১ দিনত কামটোৰ ১/n অংশ সম্পূৰ্ণ কৰে।
A-ৰ ১ দিনৰ কাম = ১/২০ অংশ।
B-ৰ ১ দিনৰ কাম = ১/৩০ অংশ।
দুয়ো মিলি ১ দিনত কৰা কাম = ১/২০ + ১/৩০ = ১/১২ অংশ।
৫ দিনত কৰা কাম = ৫ × ১/১২ = ৫/১২ অংশ।
অৱশিষ্ট কাম = ১ − ৫/১২ = ৭/১২ অংশ।
B-ই ১ দিনত ১/৩০ অংশ কাম কৰে।
সেয়ে ৭/১২ অংশ কাম কৰিবলৈ সময় = ৭/১২ × ৩০ = ৩৫/২ = ১৭.৫ দিন।
উত্তৰ: B-ই বাকী কামখিনি অকলে ১৭.৫ দিনত বা ১৭ দিন ১২ ঘণ্টাত শেষ কৰিব।
প্ৰশ্ন ৪: বাৰ্ষিকী (Annuities) কি? নিয়মীয়া বাৰ্ষিকীৰ (Regular Annuity) ভৱিষ্যত মূল্য আৰু বৰ্তমান মূল্য নিৰ্ণয়ৰ সূত্ৰসমূহ আলোচনা কৰা।
উত্তৰ: নিৰ্দিষ্ট সময়ৰ ব্যৱধানত সমান পৰিমাণৰ ধন নিয়মিতভাৱে পৰিশোধ বা গ্ৰহণ কৰা ব্যৱস্থাক বাৰ্ষিকী (Annuity) বোলে। প্ৰতিটো সময়কালৰ শেষত কিস্তি পৰিশোধ কৰা বাৰ্ষিকীক নিয়মীয়া বা Ordinary Annuity বোলে।
ধৰা হওক, প্ৰতিটো কিস্তিৰ পৰিমাণ = C, প্ৰতিটো পৰ্যায়ৰ সুতৰ হাৰ = r আৰু মুঠ কিস্তিৰ সংখ্যা = n।
ভৱিষ্যত মূল্যৰ সূত্ৰ:
FV = C × [((1 + r)ⁿ − 1)/r]
বৰ্তমান মূল্যৰ সূত্ৰ:
PV = C × [1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
এই সূত্ৰসমূহৰ সহায়ত নিয়মীয়া কিস্তি, ঋণ, সঞ্চয় আৰু বিনিয়োগৰ মূল্য সহজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।
প্ৰশ্ন ৫: মিশ্ৰণ আৰু সংমিশ্ৰণ (Mixture and Alligation) নীতি বুজাই লিখা। ১২ টকা প্ৰতি কেজি মূল্যৰ চাউলৰ সৈতে ১৮ টকা প্ৰতি কেজি মূল্যৰ চাউল কি অনুপাতত মিহলালে মিশ্ৰণটোৰ মূল্য ১৫ টকা প্ৰতি কেজি হ’ব?
উত্তৰ: দুটা ভিন্ন মূল্যৰ বস্তু মিহলাই এটা নিৰ্দিষ্ট গড় মূল্যৰ মিশ্ৰণ তৈয়াৰ কৰোঁতে কোনটো বস্তু কিমান পৰিমাণত ল’ব লাগে সেই অনুপাত নিৰ্ণয় কৰিবলৈ Alligation Rule ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
ইয়াত—
সস্তা চাউলৰ মূল্য = ১২ টকা/কেজি
দামী চাউলৰ মূল্য = ১৮ টকা/কেজি
মিশ্ৰণৰ মূল্য = ১৫ টকা/কেজি।
সস্তা চাউল : দামী চাউল
= (১৮ − ১৫) : (১৫ − ১২)
= ৩ : ৩
= ১ : ১।
উত্তৰ: ১২ টকা আৰু ১৮ টকা মূল্যৰ চাউল ১ : ১ অনুপাতত, অৰ্থাৎ সমান পৰিমাণত, মিহলাব লাগিব।
*****
এই Post টো Update কৰাত সহায় কৰিব বিচাৰে নেকি?
ইয়াত কিবা ভুল, অসম্পূৰ্ণ তথ্য বা নতুন তথ্য থাকিলে আপুনি এটা উন্নত version প্ৰস্তুত কৰিব পাৰে। Live Post তৎক্ষণাৎ সলনি নহ'ব।
Update This Post