অনুশীলনী 2.5
1.তলৰ পূৰণফল কেইটা নিৰ্ণয় কৰিবলৈ উপযুক্ত ৰাশি ব্য়ৱহাৰ কৰাঃ—
সমাধানঃ(i)(x+4) (x+10)
=.x2+(4+.10)x+40×10
= x2+14x+40
(ii) (x+8) (x-10)
=(x+[8+(-10)]x+8×(-10)
= x2-2x-.80
(iii) (3x+4) (3x-5)
=(.3x)2+[4+(-5)] 3x+4×(-5)
=.9×2-3x-20
2. প্ৰত্য়ক্ষভাৱে পূৰণ নকৰি তলৰ পূৰণফলসমূহ নিৰ্ণয় কৰাঃ-সমাধানঃ(i) 103 × 107
= (100+3) (100+7)
= (100)2+(3+7)×100+(3×7)
=10000+1000+21=11021
(ii) 95×96
=(100-5)×(100-4)
=(100)2+[(-5)+(-4)]×100+(-5)×(-4)
=10000-900+20
=9120
(iii)104×96
=(100+4) (100-4)
=(100)2+[4+(-4)]×100+(-5)×(-4)
=10000+0×100-16=10000-16=9984
4. উপযুক্ত অভেদ ব্য়ৱহাৰ কৰি তলৰ ৰাশিবোৰ বিস্তাৰ কৰা।
সমাধানঃ (i) (x+2y+4z)2
= x2+(2y)2+(4z)2+2x.(2y)+2(2y.) (4z)+.2(4z)x
= x2+4y2+16z2+4xy+16yz+8xz
(ii) (2x-y+2)2
=(2x)2+(=y)2+z2+2×2x(-y)+2(-y)z+2×z×2x
=4×2+y2+z2-4xy-2yz+4xz
(iii) (-2x+3y+2z)2
=(-2x)2+(3y)2+(2z)2+2(-2x)3y+2.3y.2z+2.2z.(-2x)
=4×2+9y2+4z2-12xy+12yz-8xz
(iv) (3a-7b-c)2
=[3a+(-7b)+(-c)]2
=(3a)2+(-7b)2+(-c)2+2(-7b(-c)+2(-c)(3a)
(v)(-2.x+5y-3z)2
=(.-2x)2+(5y)2+(-3z)2+2(-2x)(5y)+2(5y)(-3z)+2(-3z)(.2x)
=.4×2+25y2+9z2-20xy-30yz+12zx
(vi) (1/4a-1/2b+1)2
=(1/4a)2+(-1/2b)2+(1)2+2(1/4a)(-1/2b)+2(-1/2b)1+2(1/4a).1
=1/16 a2+1/4b2+1
5. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ
সমাধানঃ (i).4×2+9y2+.16×2+12xy-2yz-16xz
=.(2x)2+(3y)2+(-4z)2+2(2x).(3y)+2(3y)(-4z)+2(2x)(-4z)
=.(2x+3y-4z)2
(ii) 2×2+y2+8z2-2√2xy+4√2yz-8xz
=(-√2)2+y2+(2√2x)y+2(y)(2√2z)+2(-√2x)(2√2x
=.(-√2x+y+2√2z)2
8. তলৰ প্ৰতিটোৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ-
সমাধানঃ (i) 8a3-b3-12a2b+6ab2
=.(2a)3+b3+3(2a).b(2a+b)
=.(2a+b)3
(ii) 8a3-b3-12a2b+6ab2
=(2a)3-b3-3.2.a.b.(2a-b)
=(2a-b)3
(iii)27-125a3-135a+225a2
=.(3)3-(5a)3
(iv).64a3-27b3-144ab2+108.
=.(4a)3-(3b)3-3(4a).(3b)(4a-3b)
=(.4a-3b)3
9. সত্য়াপন কৰাঃ-
সমাধানঃ (i) x3+y3=.(x+y)(x2-xy+y2)
R.H.S=>(x+y)(x2- xy+y2)
=.x(x2-xy+y2)+y(x2-xy+y2)
= x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
= x3+y3
(ii) x3-y3=.(x-y)(x2+xy+y2)
R.H.S=>(x-y)(x2+xy+y2)
= x(x2+xy+y2)-y(x2+xy+y2)
= x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3
= x3-y3
10. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ-
সমাধানঃ (i).27y3+125z3
=.(3y)3+(5z)3
=(3y+5z)[(.3y)2-(3y).(5z)2]
=.(3y+5z)(9y2-15yz+25z2)
(ii) 64m3-343n3
=.(4m)3-(7n)3
=.(4m-7n)[(4m)2+(4m)(7n)+(7n)2]
=.(4m-7n).(16m2+28mn+49n2)
11.27×3+y3+z3-9xyz ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ-
সমাধানঃ 27×3+y3+z3-9xyz
=(3x)3+(y)3+(z)3-3(3x).y.z
=.(3x+y+z).[(3x)2+y2+z2-(3x)(y)-yz-(3x)z
=(3x+y+z).(9×2+y2+z2-3xy-yz-3xz)
12. সত্য়াপন কৰা যে
x3+y3+z3-3xyz=1/2(x+y+z)[(x-y)2+(.y-z)3+(z-x)2]
সমাধানঃ R.H.S=>1/2 (x+y+z)[(x-y)2+.(y-z)2+(z-x)2]
= 1/2 (.x+y+z)×2[x2+y2+z2+xy-y2-xz]
=(x+y+z) (x2+y2+z2-xy-yz-xz]
= x3+xy2+xz2-x2y-xyz-x2+yx2+y3+yz2-xy2-yz2-xyz+x2z+zy2+z3-xyz- yz2-z2x
= x3+(xy2-xy2)+(xz2-xz2)+(-x2y+x2y.)+(zx2-x2z)+(yz2-yz2)+(zy2- y2z)+y3+z3-3xyz
= x3+y3+z3-3xyz
13.(i)যদিx + y + z = 0 তেন্তে দেখুওৱালে x3+ y3 + z3 = 3xyz
সমাধানঃ x + y + z= 0
x + y= -z
(x + y)3 = (-z)3
x3 + y3 + 3xy (x + y)= -z3
x3 + y3 + z3 – 3xyz= 0
x3 + y3 + z3= 3xyz
(ii) যদি a + b+ c=0 তেন্তে দেখুওৱা a2 (b+c)+b2 (c + a) + c2 (a + b) + 3abc=0
সমাধানঃ a + b + c = 0
=> a + b = -c
=> b + c = -a
=> a + c = -b
L.H.S=> a2 (b+c) + b2 (a + c) +c2(a + b) + 3abc
= a2 (-a) + b2 (-b) + c2 (-c) + 3abc
= -a3 – b3 -c3+ 3abc
= -3abc + 3abc
= 0
(iii) যদি2a – b + c = c তেন্তে দেখুওৱা4a2 – b2 + c2 + 4ac
সমাধানঃ 2a – b +c = 0
2a + c =b
বাওঁপক্ষ=> 4a2 + b2 + c2 + 4ac
4a2 + 4ac + c2 – b2
.(2a + c)2 – b2
b2 – b2
0
(v) যদিa2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0 তেন্তে দেখুওৱাযে a=b=c
সমাধানঃ a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca =0
1/2 (2a2 + 2b2 + 2c – 2ab – 2bc – 2ca) = 0
{(a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2} = 0
(a – b)2 = 0 ; (a – c)2 = 0, (b – c) = 0
a=b=>a=c=>b=c
∴ a=b=c
14. ঘনফল প্ৰকৃতাৰ্থত নিৰ্ণয় নকৰাকৈ তলৰ প্ৰতাটোৰ মান নিৰ্ণয়া কৰাঃ-
সমাধানঃ (i) ধৰাহ’ল, a=-12, b=7,c=5
a + b + c = -12 + 7 + 5 = 0
∴(-12)3 + (7)3 + (5)3 = 3 (-12) (7) (5) = -1260
(ii) a=28; b=-15; c=-13
a + b + c = 28 + (-15_ + (-13) = 28 – 28 = 0
a + b + c = 0
a3 + b3 + c3 = 3abc
(28)3 + (-15)3 + (-13)3 = 3 (28) (-15) (-13) = 16980
15. তলৰ কালি দিয়া আয়ত বিলাকৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ বাবে সম্ভাব্য় ৰাশিবোৰ উলিওৱাঃ
সমাধানঃ (i) কালিঃ 25a2 – 35a + 12
আয়তক্ষেত্ৰ = L × B = 25a2 – 35a +12
L × B = 25a2 – 15a – 20a + 12
5a (5a – 3) – 4 (5a – 3)
(5a – 4) (5a – 3)
দৈঘ্য় = (5a – 3) আৰু প্ৰস্থ = (5a – 4) হব।
(ii) আয়তক্ষেত্ৰ ফল = L × B = 35y2 + 13y – 12
= 35y2 + 28y – 15y – 12
= 7y (5y + 4) – 3 (5y + 4)
= (5y + 4) (7y – 3)
দৈঘ্য় = 7y – 3 আৰু প্ৰস্থ = (5y + y)
16. তলৰ আয়তন দিয়া ঘনকৰ মাত্ৰা তিনিটাৰ বাবে সম্ভাব্য় ৰাশিকেইটা কি কি হ’ব ?
সমাধানঃ (i) আয়তীয় ঘনকৰ আয়তন = 3×2 – 12x
দীঘ × প্ৰস্থ × উচ্চতা = 3x (x – 4)
আয়তীয় ঘনকৰ মাত্ৰা = 3, x আৰু (x – 4)
(ii) আয়তীয় ঘনকৰ আয়তন = 12ky2 + 8ky – 20k
দীঘ × প্ৰস্থ × উচ্চতা = 4k (3y2 + 2y – 5)
= 4k (3y2 + 5y – 3y – 5)
= 4k [y (3y +5) -1 (3y + 5)]
= 4k (3y + 5) (y – 1)
আয়তীয় ঘনকটো আকৃতি 4k, (3y + 5 ) আৰু (y – 1)